パウリ行列(ぱうりぎょうれつ)とは、下に挙げる3つの2×2複素行列の組みのことである。σ(シグマ)で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。

添字は数学では1, 2, 3が使われるが物理学ではx, y, zが使われる。また、座標系によって添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

これに単位行列を含めた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。

目次

1 基本的な性質

1.1 パウリ行列の積


2 複素行列の実係数展開

3 関連項目

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基本的な性質

パウリ行列はエルミート行列であり、ユニタリー行列でもある。

パウリ行列σk(k = 1,2,3)のトレース(Tr)と行列式(det)は次のとおり。

det(σk) = ? 1

ちなみに、σ0(単位行列)では , det(σ0) = 1 である。

パウリ行列の積

パウリ行列の積については

が成り立つ。これは定義から直接計算すればわかる。これをまとめて

と書くことができる。これより交換関係と反交換関係は

となる。

複素行列の実係数展開

任意の2×2複素行列はパウリ行列(単位行列を含めた4つの行列)の線形結合で書ける。このとき係数は一般に複素数である。

また、任意の2×2エルミート行列をパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数は実数になる。

部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトルと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。

関連項目

ヴォルフガング・パウリ

四元数
カテゴリ: 線型代数学 | 数学に関する記事

更新日時:2008年7月3日(木)11:01
取得日時:2008/09/03 08:52