すると:
0.1111111111111...に9を掛けてみる:
両辺に10000000000000...を掛ける 9999999999999... = 10000000000000...
両辺から999999999...を引く 0 = 1
両辺に1を足す 1 = 2
ちなみに、9で割る方法を使うと、1 = 0.9999999999999...
も証明する事ができる。
わかりやすく 当然ながら、 0 = 0 0に何を掛けても0なので 邪魔な0で両辺を割って 1 = 2
毛の生えた中高生(ゆとりを除く)なら分かる証明
方程式を使った証明 a = 1 とおく。 b = 1 とおく。
したがって: a = b
両辺にbを掛けると: ab = b2
さらに両辺からa2を引く: ab − a2 = b2 − a2
数式の見た目を良くする為に、両辺に-1を掛けると: a2 − ab = a2 − b2
両辺を整理して: a(a − b) = (a + b)(a − b)
両辺に(a − b) があることからそれぞれ割って: a = (a + b)
ここで、最初に置いた数字を代入すると: 1 = (1 + 1)
実際に計算すると: 1 = 2
この初等代数による証明はもう少し簡単にできる。
a = b = 1 のとき
両辺に a を足して a + b = 2a
両辺から 2b を引いて a − b = 2a − 2b (a − b) = 2(a − b)
両辺を (a − b) で割って 1 = 2
最大値を使った証明
すべての整数の中で最大のものを A とおく。
一般に、A+1≧A
A は最大の整数だから、A≧A+1
ゆえに、A=A+1
両辺から A を引くと、0=1
両辺に1を足すと、1=2
つまり、1と2が等しいことが証明される。
指数法則による証明 = 1よって i = 1。両辺を2乗すると − 1 = 1両辺に3を加えて2で割ると、 1 = 2
複素数を使った証明
これは誰でも知っている等式:
両辺のルートを取って:
ルートを分子分母へ:
-1の平方根は虚数単位の i で、1の平方根は1である。すなわち:
両辺に1/2を掛ける:
数式を簡単にするために3/(2i)を足す:
そしてiを掛ける:
それぞれ展開する:
-1の平方根はiより、iの二乗は-1であるから:
分子分母からiを払うと:
実際に両辺を計算すると:
両辺を約分すると: 1 = 2
以上で、1=2が証明された。
三角関数を用いた証明 tan(A) = tan(π + A)である。
ここでとおくと、右辺はとなる。ここで、: なので、
ここで、
となるB,Cを導入する。（とうぜんながらB=C）: tan − 1(B) = − tan − 1(C) = − tan − 1(B) (B=Cより)
ここでtan − 1(B) = Dと置く。 D = − D
Dは上述のとおり0ではないので、両辺Dで割ることができる。 1 = − 1
両辺を2で割り、3/2を足すと 2 = 1
証明終わり (Q.E.D.)
Eulerの公式による証明Eulerの公式 eiθ = cosθ + isinθを用いて 1 = 2 を証明する。 e2iπ = cos2π + isin2π = cos(2π + 2π) + isin(2π + 2π) = cos4π + isin4π = e4iπよって e2iπ = e4iπ両辺の自然対数をとると 2iπ = 4iπ ∴ 2 = 4 両辺を 2 で割ると 1 = 2※流石にlogの複素数への拡張を使わないのはよくない
・・・のように、の肩にが無限にのっている数、これをAとする。
Aはどう見ても定数である。
ここでAの数値を求めると、が無限に続くのでの肩にのっている数もAである。（∞-1＝∞だよ。）
即ちA＝よってAは
A＝2であり4。即ち2＝4。
両辺を2で割って
1＝2。
かっこの組み換えによる証明 0 = 0 + 0 + 0 + … = (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + … = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1
∴0=1両辺に１を足して
1=2
「1 + 0 + 0 + 0 + …」の最後に「-1」が余ってるじゃないかって？「…」の部分が無限に続くときは、どうなるんだい？
極限による証明
rが正の数のとき、r0 = 1
であることから、rの∞乗根は１であり、r+1の∞乗根も１であるから。1∞=r=r+1
よって、1=2=3=.......=∞である。
微積分を使った証明
。なので、。
しかしなので、。両辺を3で割って1を足し、2=1。
ここで「極限と積分を勝手に入れ換えるなよ!」などと言い出すのは、数学者とかウィキペディアンのような頭の堅い人種だけである。物理学者は理論系の専門家ですら、極限と積分を自由に入れ換えるのだ。我々も物理学者のフリーダムっぷりを見習わなければならない。
以上の事から、「1=2」は物理学的に証明された事実であると言える。…まぁ、単に物理学が疑似科学であるだけなのかも知れないが。
0で割る手法を使わない証明
まず、 ( − 0.5)2 = 0.52であることは明らか。
両辺から2乗を取り除くと − 0.5 = 0.5
両辺に1.5を加えて 1 = 2
無限を利用した証明方法 無限に 1 を足しても無限のままであるから、∞ + 1 = ∞ 同様に、∞ + 2 = ∞ ゆえに ∞ + 1 = ∞ = ∞ + 2 ⇔ ∞ + 1 = ∞ + 2 両辺から ∞ を引くと 1 = 2
ゆとりな中高生だけが理解できる証明方法
まず、 156=52×3
は確実。円周率は3なので、 156=52π
各記号に数値を入れる。人間が勝手に作った円周率は3.1415926……(書いているとこの世が終わるのであえて書かない)なので、 156=52×3.1415926…
計算して、 156=163.3628152…
両辺から156を引いて、 0=7.3628152…
両辺を7.3628152…で割る。0は何で割っても0なので、 0=1
両辺に1を加えて、 1=2
その他
正三角形を利用した証明方法 正三角形を利用した1＝2の証明方法まず、全ての辺が１㎝である正三角形を書く（図①）。この時、当然AB+AC=2、BC=1である（単位省略）。次に、ABとACの中点から、BCの中点へ線を引く（図②）。赤いジグザグ線の長さをXとする。この時、X=AB+ACである。図②と同様に、中点から中点へと線を引く（図③）。赤いジグザグ線の長さをXとする。この時もやはり、X=AB+ACである。この作業を無限に繰り返しても、赤いジグザグ線の長さXは以下の等式で表わされる。X=AB+AC …式1この作業を無限に繰り返すと、赤いジグザグ線はBCと重なってしまう（図④）。ゆえに赤いジグザグ線の長さXは以下の式で表わされる。X=BC …式2式1と式2より、BC=AB+ACとなる。よって、1=2が証明された。
