1960年代後半、イギリスの数学者アレレー・バーによって「1=2」の命題が肯定的に解決されるまで、「1=2」が正しいか否かは数世紀に渡って数学界最大の謎とされてきた。それまでの数学者達は皆、1と2が等しいことに経験則として気付いていたが、それを数学的に証明するすべを持たなかったのである。アレレー・バーは自らが発見したバーの法則を巧みに用いて見事に「1=2」を証明してみせ、数学界に多大な衝撃を与えた。バーの証明以降、それを参考とした様々な証明方法が多くの数学者達によって考案され、現在に至っている。
1=2 グラフ
下図は座標平面上にランダムに点をプロットした図である。確実な証明方法では無いが、1=2であることを視覚的に理解することができる。
証明
1=2は数学における基本的な定理なので、何百種類もの証明方法が知られている。ここでは、そうした証明方法のほんの一部を紹介する。
まだ毛の生えてない小学生にも分かる証明
背理法による証明1 ≠ 2と仮定する。両辺に0を掛けると、0 ≠ 0これは明らかに誤りである。 ∴ 1 = 2
"あまり"を利用した証明方法 ＝ 1 あまり 1 ＝ 1 あまり 1 ゆえに 両辺に4をかけて 整理すると 5 ＝ 6 両辺から4を引くと 5 ? 4 ＝ 6 ? 4 整理すると 1 ＝ 2
"引き算"を利用した証明方法 1 - 3 = 4 - 6両辺に 9/4 を加える1 - 3 + 9/4 = 4 - 6 + 9/4式を変形すると(1 − 3 / 2)2 = (2 − 3 / 2)22乗をとって1 - 3/2 = 2 - 3/2両辺から- 3/2 をとると1 = 2
9で割る証明法 を計算する。
すると:
0.1111111111111...に9を掛けてみる:
両辺に10000000000000...を掛ける 9999999999999... = 10000000000000...
両辺から999999999...を引く 0 = 1
両辺に1を足す 1 = 2
ちなみに、9で割る方法を使うと、1 = 0.9999999999999...
も証明する事ができる。
わかりやすく 当然ながら、 0 = 0 0に何を掛けても0なので 邪魔な0で両辺を割って 1 = 2
毛の生えた中高生(ゆとりを除く)なら分かる証明
方程式を使った証明 a = 1 とおく。 b = 1 とおく。
したがって: a = b
両辺にbを掛けると: ab = b2
さらに両辺からa2を引く: ab − a2 = b2 − a2
数式の見た目を良くする為に、両辺に-1を掛けると: a2 − ab = a2 − b2
両辺を整理して: a(a − b) = (a + b)(a − b)
両辺に(a − b) があることからそれぞれ割って: a = (a + b)
ここで、最初に置いた数字を代入すると: 1 = (1 + 1)
実際に計算すると: 1 = 2
この初等代数による証明はもう少し簡単にできる。
a = b = 1 のとき
両辺に a を足して a + b = 2a
両辺から 2b を引いて a − b = 2a − 2b (a − b) = 2(a − b)
両辺を (a − b) で割って 1 = 2
最大値を使った証明
すべての整数の中で最大のものを A とおく。
一般に、A+1≧A
A は最大の整数だから、A≧A+1
ゆえに、A=A+1
両辺から A を引くと、0=1
両辺に1を足すと、1=2
つまり、1と2が等しいことが証明される。
指数法則による証明 = 1よって i = 1。両辺を2乗すると − 1 = 1両辺に3を加えて2で割ると、 1 = 2
複素数を使った証明
これは誰でも知っている等式:
両辺のルートを取って:
ルートを分子分母へ:
-1の平方根は虚数単位の i で、1の平方根は1である。すなわち:
両辺に1/2を掛ける:
数式を簡単にするために3/(2i)を足す:
そしてiを掛ける:
それぞれ展開する:
-1の平方根はiより、iの二乗は-1であるから:
分子分母からiを払うと:
実際に両辺を計算すると:
両辺を約分すると: 1 = 2
以上で、1=2が証明された。
三角関数を用いた証明 tan(A) = tan(π + A)である。
ここでとおくと、右辺はとなる。ここで、: なので、
ここで、
となるB,Cを導入する。（とうぜんながらB=C）: tan − 1(B) = − tan − 1(C) = − tan − 1(B) (B=Cより)
ここでtan − 1(B) = Dと置く。 D = − D
Dは上述のとおり0ではないので、両辺Dで割ることができる。 1 = − 1
両辺を2で割り、3/2を足すと 2 = 1
証明終わり (Q.E.D.)
Eulerの公式による証明Eulerの公式 eiθ = cosθ + isinθを用いて 1 = 2 を証明する。 e2iπ = cos2π + isin2π = cos(2π + 2π) + isin(2π + 2π) = cos4π + isin4π = e4iπよって e2iπ = e4iπ両辺の自然対数をとると 2iπ = 4iπ ∴ 2 = 4 両辺を 2 で割ると 1 = 2※流石にlogの複素数への拡張を使わないのはよくない
・・・のように、の肩にが無限にのっている数、これをAとする。
Aはどう見ても定数である。
ここでAの数値を求めると、が無限に続くのでの肩にのっている数もAである。（∞-1＝∞だよ。）
即ちA＝よってAは
A＝2であり4。即ち2＝4。
両辺を2で割って
1＝2。
かっこの組み換えによる証明 0 = 0 + 0 + 0 + … = (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + … = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1
∴0=1両辺に１を足して
1=2
「1 + 0 + 0 + 0 + …」の最後に「-1」が余ってるじゃないかって？「…」の部分が無限に続くときは、どうなるんだい？
極限による証明
rが正の数のとき、r0 = 1
であることから、rの∞乗根は１であり、r+1の∞乗根も１であるから。1∞=r=r+1
よって、1=2=3=.......=∞である。
微積分を使った証明
。なので、。
しかしなので、。両辺を3で割って1を足し、2=1。
ここで「極限と積分を勝手に入れ換えるなよ!」などと言い出すのは、数学者とかウィキペディアンのような頭の堅い人種だけである。物理学者は理論系の専門家ですら、極限と積分を自由に入れ換えるのだ。我々も物理学者のフリーダムっぷりを見習わなければならない。
以上の事から、「1=2」は物理学的に証明された事実であると言える。…まぁ、単に物理学が疑似科学であるだけなのかも知れないが。
0で割る手法を使わない証明
まず、 ( − 0.5)2 = 0.52であることは明らか。
両辺から2乗を取り除くと − 0.5 = 0.5
両辺に1.5を加えて 1 = 2
無限を利用した証明方法 無限に 1 を足しても無限のままであるから、∞ + 1 = ∞ 同様に、∞ + 2 = ∞ ゆえに ∞ + 1 = ∞ = ∞ + 2 ⇔ ∞ + 1 = ∞ + 2 両辺から ∞ を引くと 1 = 2
